سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

الف)

$$f'(x) = 5\left(\frac{x}{2x - 1}\right)^4 \times \left(\frac{2x - 1 - 2x}{(2x - 1)^2}\right)$$

ب)

$$g'(x) = 2x\left(\sqrt{x + 1}\right) + \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \times x^2$$

الف) تابع به شکل $u^5$ است که $u = \frac{x}{2x - 1}$. طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:

$$(u^5)' = 5u^4 \cdot u'$$

مشتق $u$ را با قاعدهٔ مشتق کسر به دست می‌آوریم (مشتق صورت ضرب در مخرج، منهای صورت ضرب در مشتق مخرج، تقسیم بر مجذور مخرج):

$$u' = \frac{1 \cdot (2x - 1) - x \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x}{(2x - 1)^2} = \frac{-1}{(2x - 1)^2}$$

پس:

$$f'(x) = 5\left(\frac{x}{2x - 1}\right)^4 \times \frac{-1}{(2x - 1)^2} = \frac{-5x^4}{(2x - 1)^6}$$

(ساده کردن الزامی نیست؛ صورت ساده‌نشده هم پاسخ کامل است.)

ب) تابع حاصل‌ضرب دو تابع $x^2$ و $\sqrt{x + 1}$ است. طبق قاعدهٔ مشتق ضرب:

$$(uv)' = u'v + uv'$$

مشتق $x^2$ برابر $2x$ است، و مشتق رادیکال:

$$\left(\sqrt{x + 1}\right)' = \frac{(x + 1)'}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$$

پس:

$$g'(x) = 2x\sqrt{x + 1} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$$