سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی فیزیک ۳ تجربی — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

الف) $\omega = 2\pi f \Rightarrow 10\pi = 2\pi f \Rightarrow f = 5\ \mathrm{Hz}$

یا: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} \Rightarrow T = 0.2\ \mathrm{s}$ و $f = \dfrac{1}{T} = 5\ \mathrm{Hz}$

ب) $E = \dfrac{1}{2}m\omega^2A^2 = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 100 \times 10 \times 4 \times 10^{-4} = 0.4\ \mathrm{J}$

(یا با $E = \frac{1}{2}kA^2$ و $k = m\omega^2$، یا با $E = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ و $v_{max} = A\omega$؛ هر سه $0.4\ \mathrm{J}$ می‌دهند.)

معادلهٔ نوسانگر هماهنگ ساده به شکل کلی $x = A\cos(\omega t)$ است. با مقایسه:

$$A = 0.02\ \mathrm{m} \quad , \quad \omega = 10\pi\ \mathrm{rad/s}$$

الف) بسامد زاویه‌ای با بسامد این رابطه را دارد:

$$\omega = 2\pi f \Rightarrow 10\pi = 2\pi f \Rightarrow f = 5\ \mathrm{Hz}$$

ب) انرژی مکانیکی نوسانگر برابر بیشینهٔ انرژی جنبشی آن است. تندی بیشینه:

$$v_{max} = A\omega = 0.02 \times 10\pi = 0.2\pi\ \mathrm{m/s}$$ $$E = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$

با $\omega^2 = 100\pi^2 = 100 \times 10 = 1000$ و $A^2 = (0.02)^2 = 4 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$:

$$E = \frac{1}{2} \times 2 \times 1000 \times 4 \times 10^{-4} = 0.4\ \mathrm{J}$$