سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

الف)

$$f'(x) = 7\left(2x^6 + \sqrt{2x}\right)^6 \left(12x^5 + \frac{2}{2\sqrt{2x}}\right)$$

ب)

$$g'(x) = \frac{6x^2(-x^2 + 2x) - (-2x + 2)(2x^3 - 1)}{(-x^2 + 2x)^2}$$

الف) این تابع به شکل $u^n$ است و مشتق آن طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای این است:

$$(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$$

اینجا $n = 7$ و $u = 2x^6 + \sqrt{2x}$. برای مشتق $u$ از $(\sqrt{v})' = \frac{v'}{2\sqrt{v}}$ کمک می‌گیریم:

$$(2x^6)' = 12x^5, \qquad \left(\sqrt{2x}\right)' = \frac{(2x)'}{2\sqrt{2x}} = \frac{2}{2\sqrt{2x}}$$

پس:

$$f'(x) = 7\left(2x^6 + \sqrt{2x}\right)^6 \left(12x^5 + \frac{2}{2\sqrt{2x}}\right)$$

(کسر $\frac{2}{2\sqrt{2x}}$ همان $\frac{1}{\sqrt{2x}}$ است.)

ب) برای مشتق کسر از قاعدهٔ خارج‌قسمت استفاده می‌کنیم:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$$

با $u = 2x^3 - 1$ و $v = -x^2 + 2x$:

$$u' = 6x^2, \qquad v' = -2x + 2$$

با جایگذاری:

$$g'(x) = \frac{6x^2(-x^2 + 2x) - (-2x + 2)(2x^3 - 1)}{(-x^2 + 2x)^2}$$