سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

$$O(-1, 2), \quad r = 1$$ $$O'(1, -2), \quad r' = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 - 4} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$$ $$OO' = \sqrt{\big(1 - (-1)\big)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$$

$OO' > r + r'$؛ پس دو دایره متخارج هستند.

برای تعیین وضعیت دو دایره، فاصلهٔ دو مرکز را با مجموع (و تفاضل) دو شعاع مقایسه می‌کنیم.

دایرهٔ اول: معادله به شکل استاندارد $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ است؛ پس مرکز $O(-1, 2)$ و شعاع $r = 1$.

دایرهٔ دوم: برای معادلهٔ $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$، مرکز $\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ و شعاع $\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c}$ است. اینجا $a = -2$، $b = 4$ و $c = 1$:

$$O'(1, -2), \qquad r' = \frac{1}{2}\sqrt{(-2)^2 + 4^2 - 4(1)} = \frac{1}{2}\sqrt{16} = 2$$

فاصلهٔ دو مرکز:

$$OO' = \sqrt{\big(1 - (-1)\big)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

مقایسه: $r + r' = 1 + 2 = 3$. چون $(2\sqrt{5})^2 = 20$ و $3^2 = 9$، داریم $2\sqrt{5} > 3$:

$$OO' > r + r'$$

فاصلهٔ دو مرکز از مجموع شعاع‌ها بیشتر است؛ پس دو دایره هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند و بیرون یکدیگرند، یعنی متخارج هستند.