سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

$$f'(x) = -3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(-3x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0 \ \ \text{یا} \ \ x = -2$$

طول نقطهٔ ماکزیمم نسبی $x = 0$ و طول نقطهٔ مینیمم نسبی $x = -2$ است.

گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = -3x^2 - 6x = -3x(x + 2)$$ $$-3x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \ \ \text{یا} \ \ x = -2$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ منفی ($-3$) است؛ پس بیرونِ دو ریشه منفی و بین دو ریشه مثبت است. (برای نمونه $f'(-1) = -3 + 6 = 3$ مثبت است و $-1$ بین دو ریشه قرار دارد.)

گام ۳: جدول تغییرات. هر جا $f'$ منفی است تابع نزولی و هر جا مثبت است تابع صعودی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: در $x = -2$ علامت $f'$ از منفی به مثبت عوض می‌شود (تابع از نزولی به صعودی می‌رود)، پس این نقطه مینیمم نسبی است. در $x = 0$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود، پس این نقطه ماکزیمم نسبی است.

برای کامل بودن، مقدار تابع در این دو نقطه:

$$f(-2) = -(-8) - 3(4) + 2 = -2, \qquad f(0) = 2$$