سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

رنگ مهره‌ای که از ظرف دوم بیرون می‌آید به این بستگی دارد که چه مهره‌ای از ظرف اول به آن اضافه شده است. پس دو حالت را جدا بررسی می‌کنیم و احتمال‌ها را جمع می‌کنیم (قانون احتمال کل).

ظرف اول $5 + 6 = 11$ مهره دارد و ظرف دوم پس از اضافه شدن یک مهره، $4 + 7 + 1 = 12$ مهره خواهد داشت.

حالت ۱: مهرهٔ منتقل‌شده زرد باشد. احتمال آن $\frac{6}{11}$ است. ظرف دوم آنگاه ۴ قرمز و ۸ زرد دارد و احتمال زرد بودن مهرهٔ دوم $\frac{8}{12}$ است:

$$\frac{6}{11} \times \frac{8}{12} = \frac{48}{132}$$

حالت ۲: مهرهٔ منتقل‌شده قرمز باشد. احتمال آن $\frac{5}{11}$ است. ظرف دوم آنگاه ۵ قرمز و ۷ زرد دارد و احتمال زرد بودن مهرهٔ دوم $\frac{7}{12}$ است:

$$\frac{5}{11} \times \frac{7}{12} = \frac{35}{132}$$

جمع دو حالت:

$$P(\text{زرد}) = \frac{48}{132} + \frac{35}{132} = \frac{83}{132}$$