سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

الف) درست — ب) نادرست — پ) درست — ت) نادرست

الف) درست. ضرب کردن $f(x)$ در یک عدد و اضافه کردن یک عدد به آن، فقط مقدار تابع (عرض نقطه‌ها) را تغییر می‌دهد و کاری به $x$ ندارد. هر دو تابع $-2f(x) + 4$ و $\frac{1}{5}f(x)$ دقیقاً برای همان $x$هایی تعریف می‌شوند که $f(x)$ تعریف شده است؛ پس دامنهٔ هر دو همان دامنهٔ $f$ است.

ب) نادرست. هر تابع اکیداً یکنوا یک‌به‌یک است، اما عکس این حکم همیشه درست نیست. برای نمونه $f(x) = \frac{1}{x}$ یک‌به‌یک است (هر مقدار را فقط یک بار می‌گیرد)، ولی روی کل دامنه‌اش نه صعودی است نه نزولی:

پ) درست. تابع $y = \tan x$ در هر بازهٔ $\left(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}\right)$ اکیداً صعودی است و در نقطه‌های $x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ تعریف نشده است. هر بازه‌ای که تانژانت در همهٔ نقطه‌هایش تعریف شده باشد، درون یکی از همین بازه‌ها قرار می‌گیرد و تانژانت در آن صعودی است؛ پس هیچ بازه‌ای نیست که تانژانت در آن نزولی باشد.

ت) نادرست. برای اینکه تابع در نقطهٔ $c$ اکسترمم نسبی داشته باشد، باید در یک همسایگی از $c$ (از هر دو طرف) تعریف شده باشد. اما اکسترمم مطلق ممکن است در نقطهٔ ابتدا یا انتهای دامنه رخ دهد که چنین همسایگی‌ای ندارد. برای نمونه $f(x) = x$ با دامنهٔ $[0, 1]$ در $x = 0$ مینیمم مطلق دارد، ولی چون تابع در سمت چپ $0$ تعریف نشده است، $x = 0$ مینیمم نسبی نیست.