سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

$$2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$$

$\cos x = 2$ غیرقابل‌قبول است و:

$$\cos x = -\frac{1}{2} = \cos\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \ \ \text{یا} \ \ x = 2k\pi - \frac{2\pi}{3}$$

گام ۱: همه‌چیز برحسب $\cos x$. با اتحاد $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$2\cos^2 x - 1 - 3\cos x - 1 = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$$

گام ۲: معادلهٔ درجهٔ دوم. اگر $t = \cos x$ بگیریم:

$$2t^2 - 3t - 2 = 0 \Rightarrow (2t + 1)(t - 2) = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2} \ \ \text{یا} \ \ t = 2$$

گام ۳: کنار گذاشتن جواب نادرست. همیشه $-1 \le \cos x \le 1$؛ پس $\cos x = 2$ جواب ندارد و غیرقابل‌قبول است. فقط $\cos x = -\frac{1}{2}$ می‌ماند.

گام ۴: جواب کلی. می‌دانیم $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$. جواب کلی معادلهٔ $\cos x = \cos\alpha$ به‌صورت $x = 2k\pi \pm \alpha$ است:

$$\cos x = \cos\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3} \qquad (k \in \mathbb{Z})$$