سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

شیب خط مماس در $x = 3$ همان مشتق تابع در این نقطه است. طبق تعریف مشتق:

$$f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3}$$

گام ۱: مقدار تابع در ۳:

$$f(3) = 3^2 - 3 = 6$$

گام ۲: جایگذاری در کسر:

$$\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$$

در $x = 3$ صورت و مخرج هر دو صفر می‌شوند (حالت $\frac{0}{0}$)؛ پس صورت را تجزیه می‌کنیم:

$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$

گام ۳: ساده کردن و حد گرفتن:

$$f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 2) = 5$$

پس شیب خط مماس ۵ است.