سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

نمودار $f$ را در راستای افقی با ضریب $\frac{1}{3}$ فشرده می‌کنیم ($y = f(3x)$)، سپس نسبت به محور $x$ها قرینه می‌کنیم ($y = -f(3x)$، خط‌چین) و در پایان یک واحد به بالا می‌بریم (منحنی آبی):

از روی شکل، نمودار $f$ از دو پاره‌خط ساخته شده است و کافی است سه نقطهٔ اصلی آن را جابه‌جا کنیم: نقطهٔ ابتدا $(-3, 0)$، نقطهٔ گوشه $(-1, 2)$ و نقطهٔ انتها $(3, -2)$.

گام ۱: $y = f(3x)$. اگر نقطهٔ $(a, b)$ روی نمودار $f$ باشد، نقطهٔ $\left(\frac{a}{3}, b\right)$ روی نمودار $f(3x)$ است، چون $f\left(3 \cdot \frac{a}{3}\right) = f(a) = b$. پس طول همهٔ نقطه‌ها بر ۳ تقسیم می‌شود و نمودار در راستای افقی فشرده می‌شود.

گام ۲: $y = -f(3x)$. علامت منفی پشت تابع، عرض همهٔ نقطه‌ها را قرینه می‌کند؛ یعنی نمودار نسبت به محور $x$ها قرینه می‌شود.

گام ۳: $y = -f(3x) + 1$. اضافه کردن $+1$ کل نمودار را یک واحد به بالا می‌برد؛ یعنی به عرض همهٔ نقطه‌ها یک واحد اضافه می‌شود.

جدول زیر سه نقطهٔ اصلی را در هر مرحله نشان می‌دهد:

پس نمودار نهایی از دو پاره‌خط ساخته می‌شود: یکی از $(-1, 1)$ تا $(-\frac{1}{3}, -1)$ و دیگری از $(-\frac{1}{3}, -1)$ تا $(1, 3)$ که از مبدأ هم می‌گذرد (منحنی آبی در شکل پاسخ).