سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

الف)

$$\frac{2(-2) + 1}{|2^- - 2|} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$$

ب)

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2}{-x^5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{-x^3} = 0$$

الف) وقتی $x \to 2^-$، یعنی $x$ کمی کوچک‌تر از ۲ است (مثلاً $1.99$). پس $-x$ کمی بزرگ‌تر از $-2$ است (مثلاً $-1.99$) و بین $-2$ و $-1$ قرار دارد:

$$-2 < -x < -1 \Rightarrow [-x] = -2$$

پس صورت کسر یک عدد ثابت است:

$$2[-x] + 1 = 2(-2) + 1 = -3$$

مخرج $|x - 2|$ به صفر میل می‌کند و چون قدرمطلق است، همیشه مثبت است؛ یعنی به $0^+$ میل می‌کند. تقسیم یک عدد منفی بر عددی مثبت و بسیار کوچک، عددی منفی با قدرمطلق بسیار بزرگ می‌دهد:

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{2[-x] + 1}{|x - 2|} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$$

ب) در حد بی‌نهایت، رفتار هر چندجمله‌ای را جملهٔ با بزرگ‌ترین توانش تعیین می‌کند؛ پس فقط جملهٔ پیشرو صورت و مخرج را نگه می‌داریم:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{-x^5 + 2x^2 - 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2}{-x^5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{-x^3}$$

وقتی $x \to -\infty$، مقدار $-x^3$ به $+\infty$ میل می‌کند؛ پس کسر $\frac{3}{-x^3}$ به صفر میل می‌کند:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3}{-x^3} = 0$$

(به زبان ساده: درجهٔ صورت، یعنی ۲، از درجهٔ مخرج، یعنی ۵، کمتر است و برای همین حد صفر می‌شود.)