سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

$$S = ab = 16 \Rightarrow b = \frac{16}{a}$$ $$P = 2(a + b) = 2\left(a + \frac{16}{a}\right) = 2a + \frac{32}{a}$$ $$P' = 2 - \frac{32}{a^2} = 0 \Rightarrow \frac{32}{a^2} = 2 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$$

گام ۱: یک متغیر کردن. طول مستطیل را $a$ و عرض آن را $b$ می‌گیریم (هر دو مثبت). از مساحت:

$$ab = 16 \Rightarrow b = \frac{16}{a}$$

گام ۲: محیط برحسب $a$.

$$P(a) = 2(a + b) = 2\left(a + \frac{16}{a}\right) = 2a + \frac{32}{a} \qquad (a > 0)$$

گام ۳: ریشهٔ مشتق.

$$P'(a) = 2 - \frac{32}{a^2} = 0 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$$

(جواب $a = -4$ قابل‌قبول نیست، چون طول منفی نمی‌شود.)

گام ۴: اطمینان از کمترین بودن. برای $0 < a < 4$، $\frac{32}{a^2}$ از ۲ بزرگ‌تر است و $P' < 0$ (محیط کم می‌شود)؛ برای $a > 4$، $P' > 0$ (محیط زیاد می‌شود). پس در $a = 4$ محیط کمترین مقدار را دارد.

در این حالت $b = \frac{16}{4} = 4$؛ یعنی مستطیل مربعی به ضلع ۴ است و طول آن ۴ سانتی‌متر و محیطش ۱۶ سانتی‌متر است.