سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

الف) ۲ — ب) ۳ — پ) ۷ — ت) ناسازگار

الف) در بازهٔ $(0, \pi)$ مقدار سینوس از $0$ تا $1$ بالا می‌رود (تا $x = \frac{\pi}{2}$) و دوباره تا $0$ پایین می‌آید. عدد $\frac{1}{3}$ بین $0$ و $1$ است؛ پس خط $y = \frac{1}{3}$ نمودار سینوس را یک بار در بالا رفتن و یک بار در پایین آمدن قطع می‌کند. اگر یکی از جواب‌ها $\alpha$ باشد (با $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$)، جواب دیگر $\pi - \alpha$ است، چون $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. پس معادله ۲ جواب دارد.

ب) طبق قضیهٔ باقی‌مانده، باقی‌ماندهٔ تقسیم $P(x)$ بر $x + 1$ برابر $P(-1)$ است:

پس باقی‌مانده ۳ است.

پ) همسایگی راست عدد $a$ بازه‌ای به شکل $(a, b)$ است که از خود $a$ شروع می‌شود و به سمت راست آن می‌رود ($b > a$). بازهٔ $(7, 9)$ از ۷ شروع می‌شود؛ پس همسایگی راست عدد ۷ است.

ت) دو پیشامد که نمی‌توانند با هم رخ دهند، یعنی اشتراکی ندارند ($A \cap B = \varnothing$)، دو پیشامد ناسازگار نامیده می‌شوند.