سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

الف) $D_g = [2, +\infty)$ و $D_f = \mathbb{R} - \{2\}$

$$D_{f \circ g} = \{x \in [2, +\infty) \mid \sqrt{x - 2} \ne 2\} = \{x \in [2, +\infty) \mid x \ne 6\} = [2, +\infty) - \{6\}$$

ب)

$$(g \circ f^{-1})(2) = g(5) = \sqrt{3}$$

الف) طبق تعریف، دامنهٔ ترکیب دو تابع این است:

$$D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$$

دامنهٔ $g$: زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

$$x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow D_g = [2, +\infty)$$

دامنهٔ $f$: مخرج نباید صفر شود، پس $x \ne 2$ و $D_f = \mathbb{R} - \{2\}$.

شرط $g(x) \in D_f$: یعنی $g(x)$ نباید برابر ۲ باشد:

$$\sqrt{x - 2} \ne 2 \Rightarrow x - 2 \ne 4 \Rightarrow x \ne 6$$

پس از بازهٔ $[2, +\infty)$ فقط عدد ۶ کنار گذاشته می‌شود:

$$D_{f \circ g} = [2, +\infty) - \{6\}$$

ب) طبق تعریف ترکیب:

$$(g \circ f^{-1})(2) = g\big(f^{-1}(2)\big)$$

تابع $f$ یک‌به‌یک است (چون $f(x) = 1 + \frac{3}{x - 2}$)، پس وارون دارد. $f^{-1}(2)$ عددی است که $f$ آن را به ۲ می‌برد:

$$\frac{x + 1}{x - 2} = 2 \Rightarrow x + 1 = 2x - 4 \Rightarrow x = 5$$

پس $f^{-1}(2) = 5$ و:

$$g(5) = \sqrt{5 - 2} = \sqrt{3}$$