سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۳

الف)

$$\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{25 - (-5)}{3} = 10$$

ب)

$$f'(x) = 3x^2 + 1 = 13 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \Rightarrow x = 2$$

الف) آهنگ تغییر متوسط تابع در بازهٔ $[a, b]$ برابر $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ است. ابتدا مقدار تابع را در دو سر بازه حساب می‌کنیم:

$$f(3) = 27 + 3 - 5 = 25, \qquad f(0) = -5$$ $$\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{25 - (-5)}{3} = \frac{30}{3} = 10$$

ب) آهنگ تغییر لحظه‌ای در هر نقطه، همان مشتق تابع در آن نقطه است:

$$f'(x) = 3x^2 + 1$$ $$3x^2 + 1 = 13 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \ \ \text{یا} \ \ x = -2$$

عدد $-2$ در بازهٔ $[0, 3]$ نیست؛ پس جواب $x = 2$ است.