سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

الف)

$$f'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(x^4 - 2x\right) + \left(4x^3 - 2\right)\left(2\sqrt{x} + 1\right)$$

ب)

$$g'(x) = \frac{3\left(x^5 - x + 1\right) - \left(5x^4 - 1\right)(3x + 1)}{\left(x^5 - x + 1\right)^2}$$

الف) تابع حاصل‌ضرب دو عبارت است؛ از قاعدهٔ مشتق ضرب استفاده می‌کنیم:

$$(uv)' = u'v + v'u$$

با $u = 2\sqrt{x} + 1$ و $v = x^4 - 2x$، مشتق هر کدام:

$$u' = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \qquad v' = 4x^3 - 2$$

در قاعده جای‌گذاری می‌کنیم:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^4 - 2x\right) + \left(4x^3 - 2\right)\left(2\sqrt{x} + 1\right)$$

ب) تابع کسری است؛ از قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت استفاده می‌کنیم:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$$

با $u = 3x + 1$ و $v = x^5 - x + 1$:

$$u' = 3 \qquad v' = 5x^4 - 1$$

در قاعده جای‌گذاری می‌کنیم:

$$g'(x) = \frac{3\left(x^5 - x + 1\right) - \left(5x^4 - 1\right)(3x + 1)}{\left(x^5 - x + 1\right)^2}$$

چون ساده کردن الزامی نیست، همین شکل پاسخ کامل است.