سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

$$h = \frac{300}{r^2} \qquad S = \frac{1800}{r} + 3r^2 \qquad S' = \frac{-1800}{r^2} + 6r = 0$$ $$r = \sqrt[3]{300} \Rightarrow h = \sqrt[3]{300}$$

شعاع قاعده را $r$ و ارتفاع قوطی را $h$ (بر حسب سانتی‌متر) می‌گیریم.

گام ۱: رابطهٔ $h$ و $r$ از حجم. حجم استوانه $\pi r^2 h$ است و با $\pi \simeq 3$:

$$3r^2 h = 900 \Rightarrow h = \frac{300}{r^2}$$

گام ۲: مساحت فلز. قوطی درباز است، پس فقط یک قاعده (کف) دارد، به‌علاوهٔ سطح جانبی:

$$S = \pi r^2 + 2\pi r h = 3r^2 + 6rh$$

به جای $h$ مقدارش را می‌گذاریم تا $S$ فقط تابع $r$ شود:

$$S = 3r^2 + 6r \times \frac{300}{r^2} = 3r^2 + \frac{1800}{r}$$

گام ۳: مشتق و ریشهٔ آن.

$$S' = 6r - \frac{1800}{r^2} = 0 \Rightarrow 6r^3 = 1800 \Rightarrow r^3 = 300 \Rightarrow r = \sqrt[3]{300}$$

گام ۴: مینیمم بودن. برای $r < \sqrt[3]{300}$ داریم $r^3 < 300$ و $S'$ منفی است، و برای $r > \sqrt[3]{300}$ مثبت؛ پس $S$ اول نزولی و بعد صعودی است و در $r = \sqrt[3]{300}$ کمترین مقدار را دارد.

گام ۵: ارتفاع. چون $r^3 = 300$:

$$h = \frac{300}{r^2} = \frac{r^3}{r^2} = r = \sqrt[3]{300}$$

پس برای کمترین مصرف فلز، شعاع قاعده و ارتفاع قوطی هر دو $\sqrt[3]{300}$ سانتی‌متر (حدود $6.7$ سانتی‌متر) است.