دی ۱۴۰۲

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۵ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

۰.۷۵ بارم

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید.

الف) نمودار تابع y=f(x3)y = f\left(\frac{x}{3}\right)، از انقباض افقی نمودار تابع y=f(x)y = f(x) به‌دست می‌آید.

ب) فقط دو زاویه وجود دارد که مقدار کسینوس آن 25\frac{2}{5} باشد.

پ) باقی‌ماندهٔ تقسیم چندجمله‌ای P(x)=2x3−x2+1P(x) = 2x^3 - x^2 + 1 بر x−1x - 1 برابر ۲ است.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) نادرست — ب) نادرست — پ) درست

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) نادرست. در y=f(x3)y = f\left(\frac{x}{3}\right)، مقداری که ff در نقطهٔ xx داشت، حالا در نقطهٔ 3x3x به دست می‌آید. برای نمونه اگر f(1)=5f(1) = 5 باشد، در تابع جدید باید x3=1\frac{x}{3} = 1 شود، یعنی x=3x = 3؛ پس نقطهٔ (1,5)(1, 5) به (3,5)(3, 5) می‌رود. به طور کلی هر نقطهٔ نمودار سه برابر از محور yyها دور می‌شود:

(x,y) روی y=f(x)⇒(3x,y) روی y=f(x3)(x, y) \ \text{روی} \ y = f(x) \quad \Rightarrow \quad (3x, y) \ \text{روی} \ y = f\left(\frac{x}{3}\right)

پس نمودار در راستای افقی باز می‌شود (انبساط افقی)، نه فشرده. انقباض افقی وقتی رخ می‌دهد که xx در عددی بزرگ‌تر از ۱ ضرب شود، مثل y=f(3x)y = f(3x).

ب) نادرست. در یک دور کامل دایرهٔ مثلثاتی (بازهٔ [0,2π)[0, 2\pi)) دقیقاً دو زاویه هست که کسینوسشان 25\frac{2}{5} است: یکی در ربع اول (α\alpha) و یکی در ربع چهارم (2π−α2\pi - \alpha). اما کسینوس دوره‌ای است و با افزودن هر مضرب 2π2\pi مقدارش تغییر نمی‌کند:

cos⁡x=25⇒x=2kπ±α(k∈Z)\cos x = \frac{2}{5} \Rightarrow x = 2k\pi \pm \alpha \qquad (k \in \mathbb{Z})

پس بی‌شمار زاویه با این کسینوس وجود دارد، نه فقط دو زاویه.

پ) درست. طبق قضیهٔ باقی‌مانده، باقی‌ماندهٔ تقسیم P(x)P(x) بر x−1x - 1 برابر P(1)P(1) است:

P(1)=2(1)3−(1)2+1=2−1+1=2P(1) = 2(1)^3 - (1)^2 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2
این پاسخ مفید بود؟