سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

الف)

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{[x]}{x - 2} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$

ب)

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 + x - 4x^2}{3x + 2x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-4x^2}{2x^2} = -2$$

الف) وقتی $x$ از سمت چپ به ۲ نزدیک می‌شود، یعنی $1 \le x < 2$ است؛ پس جزء صحیح آن ۱ است:

$$[x] = 1$$

مخرج $x - 2$ به صفر میل می‌کند و چون $x < 2$ است، همیشه منفی است؛ یعنی مخرج از سمت مقدارهای منفی به صفر می‌رسد ($0^-$). عدد مثبت ۱ تقسیم بر عددهای منفیِ خیلی کوچک، عددی منفی با قدر مطلق خیلی بزرگ می‌شود:

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{[x]}{x - 2} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$

ب) در حد بی‌نهایتِ یک تابع گویا، فقط جملهٔ با بزرگ‌ترین توان در صورت و در مخرج اهمیت دارد، چون بقیهٔ جمله‌ها در برابر آن ناچیزند:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 + x - 4x^2}{3x + 2x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-4x^2}{2x^2} = \frac{-4}{2} = -2$$

(درجهٔ صورت و مخرج برابر است، پس حد برابر نسبت ضریب‌های بزرگ‌ترین توان است.)