سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

مرکز بیضی محل برخورد قطر کانونی و قطر کوچک است، پس: $O(2, -1)$

با توجه به اینکه $AA' = 12$ و $BB' = 8$، بنابراین:

$$AA' = 2a = 12 \rightarrow a = 6 \qquad BB' = 2b = 8 \rightarrow b = 4$$

همچنین:

$$c^2 = 36 - 16 = 20 \rightarrow c = 2\sqrt{5} \rightarrow FF' = 2c = 4\sqrt{5}$$

گام ۱: مرکز. قطر کانونی (قطر بزرگ) و قطر کوچک بر هم عمودند و یکدیگر را در مرکز بیضی قطع می‌کنند. خط $y = -1$ افقی و خط $x = 2$ عمودی است و این دو خط در نقطهٔ $(2, -1)$ به هم می‌رسند:

$$O(2, -1)$$

گام ۲: $a$ و $b$. طول قطر بزرگ $2a$ و طول قطر کوچک $2b$ است:

$$2a = 12 \Rightarrow a = 6 \qquad 2b = 8 \Rightarrow b = 4$$

گام ۳: $c$. در بیضی رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ برقرار است ($c$ فاصلهٔ هر کانون تا مرکز است):

$$c^2 = a^2 - b^2 = 36 - 16 = 20 \Rightarrow c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

گام ۴: فاصلهٔ کانونی. فاصلهٔ دو کانون از هم $2c$ است:

$$FF' = 2c = 4\sqrt{5}$$