سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

$$\sin 4x = \frac{1}{2} \Rightarrow 4x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{24}$$ $$4x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} + \frac{5\pi}{24}$$

جواب‌های داخل بازهٔ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$:

$$x = \frac{5\pi}{24} \ , \ \frac{\pi}{24}$$

گام ۱: ساده کردن. دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم:

$$\sin 4x = \frac{1}{2}$$

گام ۲: جواب کلی. می‌دانیم $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. جواب کلی معادلهٔ $\sin\theta = \sin\alpha$ این است:

$$\theta = 2k\pi + \alpha \quad \text{یا} \quad \theta = 2k\pi + \pi - \alpha \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

با $\theta = 4x$ و $\alpha = \frac{\pi}{6}$:

$$4x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{24}$$ $$4x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} + \frac{5\pi}{24}$$

گام ۳: جواب‌های داخل بازه. انتهای بازه $\frac{\pi}{2} = \frac{12\pi}{24}$ است. به $k$ مقدار می‌دهیم:

• $k = 0$: $x = \frac{\pi}{24}$ و $x = \frac{5\pi}{24}$؛ هر دو داخل بازه‌اند.
• $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{24} = \frac{13\pi}{24}$ و $x = \frac{17\pi}{24}$؛ هر دو از $\frac{12\pi}{24}$ بزرگ‌ترند و بیرون بازه‌اند.
• $k = -1$: جواب‌ها منفی می‌شوند و بیرون بازه‌اند.

پس جواب‌های داخل بازهٔ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ فقط $x = \frac{\pi}{24}$ و $x = \frac{5\pi}{24}$ هستند.