سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

$$f'(x) = -2x + 6 \rightarrow f'(2) = 2$$ $$d : (2, 3) , (a, 0) \ : \ 2 = \frac{0 - 3}{a - 2} \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$

گام ۱: نقطهٔ تماس. عرض نقطهٔ تماس را از خود تابع به دست می‌آوریم:

$$f(2) = -(2)^2 + 6(2) - 5 = -4 + 12 - 5 = 3$$

پس خط $d$ از نقطهٔ $(2, 3)$ می‌گذرد.

گام ۲: شیب خط مماس. شیب خط مماس در $x = 2$ برابر مشتق تابع در این نقطه است:

$$f'(x) = -2x + 6 \Rightarrow f'(2) = -4 + 6 = 2$$

گام ۳: پیدا کردن $a$. خط $d$ از دو نقطهٔ $(2, 3)$ و $(a, 0)$ می‌گذرد و شیبش ۲ است:

$$\frac{0 - 3}{a - 2} = 2 \Rightarrow -3 = 2(a - 2) \Rightarrow a - 2 = -\frac{3}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$

(راه دیگر: معادلهٔ خط مماس $y - 3 = 2(x - 2)$ یا $y = 2x - 1$ است؛ با گذاشتن $y = 0$ نتیجه می‌شود $x = \frac{1}{2}$.)