سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

$$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$

تابع در بازه‌های $(-\infty, -3]$ و $[3, +\infty)$ اکیداً صعودی است.

گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = 3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9) = 3(x - 3)(x + 3)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -3 \ \ \text{یا} \ \ x = 3$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ مثبت است؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است. (برای نمونه $f'(0) = -27$ منفی است و صفر بین دو ریشه قرار دارد.)

گام ۳: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است تابع نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: تابع در بازه‌های $(-\infty, -3]$ و $[3, +\infty)$ اکیداً صعودی است. نقطه‌های $-3$ و $3$ را هم می‌توان در بازه‌ها آورد (بازه‌های بسته)، چون تابع در این نقطه‌ها پیوسته است.