سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

$$y = -x^2 - 2 \xrightarrow{x \ge 0} x = \sqrt{-y - 2} \Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt{-x - 2}$$ $$D_{f^{-1}} = (-\infty, -2]$$

گام ۱: یک‌به‌یک بودن. نمودار $y = -x^2 - 2$ یک سهمی رو به پایین با رأس $(0, -2)$ است. با شرط $x \ge 0$ فقط نیمهٔ راست سهمی را داریم که همواره نزولی است؛ پس تابع یک‌به‌یک است و وارون دارد.

گام ۲: پیدا کردن $x$ بر حسب $y$.

$$y = -x^2 - 2 \Rightarrow x^2 = -y - 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{-y - 2}$$

چون $x \ge 0$ است، علامت مثبت را نگه می‌داریم:

$$x = \sqrt{-y - 2}$$

گام ۳: جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم.

$$f^{-1}(x) = \sqrt{-x - 2}$$

گام ۴: دامنهٔ وارون. دامنهٔ $f^{-1}$ همان برد $f$ است. چون $x^2 \ge 0$:

$$-x^2 \le 0 \Rightarrow -x^2 - 2 \le -2 \Rightarrow R_f = (-\infty, -2]$$

پس $D_{f^{-1}} = (-\infty, -2]$. همین را از خود ضابطه هم می‌بینیم: زیر رادیکال باید نامنفی باشد، یعنی $-x - 2 \ge 0$ یا $x \le -2$.