سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

Question

جاهای خالی را با عدد مناسب پر کنید.

الف) اگر $f(x) = \dfrac{|x|}{1 + |x|}$ ، مقدار $fof(1)$ برابر ........ است.

ب) اگر $\alpha$ یک زاویهٔ حاده و $\sin\alpha = \frac{2}{5}$ ، حاصل $\cos 2\alpha$ برابر ........ است.

پ) بازهٔ $(-2, 0)$ ، یک همسایگی چپ برای عدد ........ است.

Accepted Answer

الف) \frac{1}{3} — ب) \frac{17}{25} — پ) صفر

الف) fof(1) یعنی f\big(f(1)\big)؛ اول f(1) را حساب می‌کنیم و بعد حاصل را دوباره در f می‌گذاریم: f(1) = \frac{|1|}{1 + |1|} = \frac{1}{2} fof(1) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} ب) از رابطهٔ کسینوس دو برابر کمان بر حسب سینوس استفاده می‌کنیم: \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2\left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25} پ) همسایگی چپ عدد a بازه‌ای به شکل (a - \delta, a) است که \delta > 0؛ یعنی بازه‌ای باز که درست در سمت چپ a قرار دارد و انتهای راستش خودِ a است. انتهای راست بازهٔ (-2, 0) عدد صفر است، پس این بازه یک همسایگی چپ برای عدد صفر است (\delta = 2).

سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۲

راه‌حل قدم‌به‌قدم

نظرت دربارهٔ این سؤال چیه؟