سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

الف)

$$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}(x^3 + 4) + 3x^2\left(\sqrt{3x + 2}\right)$$

ب)

$$g'(x) = \frac{(-14x)(x - 6) - (1)(-7x^2 + 1)}{(x - 6)^2}$$

پ)

$$h'(x) = 4(2x^5 - 1)^3(10x^4)$$

الف) مشتق حاصل‌ضرب. اگر $f = u\,v$ باشد، $f' = u'v + uv'$. این‌جا $u = \sqrt{3x + 2}$ و $v = x^3 + 4$ است.

مشتق رادیکال: $\left(\sqrt{w}\right)' = \dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$؛ با $w = 3x + 2$ و $w' = 3$:

$$u' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} , \qquad v' = 3x^2$$ $$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}(x^3 + 4) + 3x^2\sqrt{3x + 2}$$

ب) مشتق کسر. اگر $g = \dfrac{u}{v}$ باشد، $g' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. این‌جا $u = -7x^2 + 1$ با $u' = -14x$ و $v = x - 6$ با $v' = 1$:

$$g'(x) = \frac{(-14x)(x - 6) - (1)(-7x^2 + 1)}{(x - 6)^2}$$

اگر بخواهیم ساده کنیم: صورت برابر $-14x^2 + 84x + 7x^2 - 1 = -7x^2 + 84x - 1$ است، پس $g'(x) = \dfrac{-7x^2 + 84x - 1}{(x - 6)^2}$.

پ) مشتق توان یک عبارت (قاعدهٔ زنجیره‌ای). $\big(w^n\big)' = n\,w^{n-1}\,w'$؛ با $w = 2x^5 - 1$ و $w' = 10x^4$:

$$h'(x) = 4(2x^5 - 1)^3(10x^4) = 40x^4(2x^5 - 1)^3$$