سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

الف) $5$ — ب) $\{1\}$ — پ) $(-1, 4)$

الف) ترکیب یک تابع با وارون خودش، هر عدد از دامنهٔ $f^{-1}$ (یعنی برد $f$) را به خود همان عدد می‌برد:

چون $\sqrt{2x - 1} \ge 0$ است، برد $f$ بازهٔ $[3, +\infty)$ است و عدد ۵ در آن قرار دارد؛ پس جواب $5$ است.

برای اطمینان: $3 + \sqrt{2x - 1} = 5 \Rightarrow \sqrt{2x - 1} = 2 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$؛ یعنی $f^{-1}(5) = \frac{5}{2}$ و $f\left(\frac{5}{2}\right) = 3 + \sqrt{4} = 5$.

ب) سه مجموعه یک افراز برای $\mathbb{N}$ می‌سازند اگر هیچ‌کدام تهی نباشد، دوبه‌دو اشتراک نداشته باشند و اجتماعشان کل $\mathbb{N}$ شود. هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ یا اول است یا مرکب؛ فقط عدد ۱ نه اول است و نه مرکب. پس باید $C = \{1\}$ باشد.

پ) نمودار $y = f(2x)$ از فشرده کردن افقی نمودار $y = f(x)$ با ضریب $\frac{1}{2}$ به دست می‌آید: طول هر نقطه نصف می‌شود و عرض آن تغییر نمی‌کند. پس نقطهٔ $(-2, 4)$ به $(-1, 4)$ می‌رود.

بررسی: در $x = -1$ داریم $f\big(2(-1)\big) = f(-2) = 4$.