سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

الف)

$$P(A) = \frac{1}{4} , \qquad P(B) = \frac{3}{4}$$

ب) با $C$ پیشامد «معدل بالای ۱۸»:

$$P(C) = P(A)P(C \mid A) + P(B)P(C \mid B) = \frac{1}{4} \times \frac{35}{100} + \frac{3}{4} \times \frac{15}{100} = \frac{1}{5}$$

الف) اگر تعداد دانش‌آموزان دو مدرسه $n_A$ و $n_B$ باشد، چون انتخاب کاملاً تصادفی است، احتمال هر مدرسه برابر سهم آن از کل دانش‌آموزان است:

$$P(A) = \frac{n_A}{n_A + n_B} , \qquad P(B) = \frac{n_B}{n_A + n_B}$$

عددهای راهنمای تصحیح رسمی ($P(A) = \frac{1}{4}$ و $P(B) = \frac{3}{4}$) از این فرض به دست می‌آیند که مدرسهٔ $B$ سه برابر مدرسهٔ $A$ دانش‌آموز دارد ($n_B = 3n_A$):

$$P(A) = \frac{n_A}{n_A + 3n_A} = \frac{1}{4} , \qquad P(B) = \frac{3n_A}{n_A + 3n_A} = \frac{3}{4}$$

ب) پیشامد $C$ («معدل بالای ۱۸») را به دو حالت جدا تقسیم می‌کنیم: فرد از مدرسهٔ $A$ باشد یا از مدرسهٔ $B$. طبق قانون احتمال کل:

$$P(C) = P(A)\,P(C \mid A) + P(B)\,P(C \mid B)$$

از صورت سؤال $P(C \mid A) = \frac{35}{100}$ و $P(C \mid B) = \frac{15}{100}$ است. با عددهای راهنما:

$$P(C) = \frac{1}{4} \times \frac{35}{100} + \frac{3}{4} \times \frac{15}{100} = \frac{35}{400} + \frac{45}{400} = \frac{80}{400} = \frac{1}{5}$$