سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

$$f'(x) = -6x^2 + 6 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$

پس تابع در بازهٔ $[-1, 1]$ صعودی اکید است.

گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = -6x^2 + 6 = -6(x^2 - 1) = -6(x - 1)(x + 1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1 \ \ \text{یا} \ \ x = 1$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ منفی است؛ پس بیرونِ دو ریشه منفی و بین دو ریشه مثبت است. (برای نمونه $f'(0) = 6$ مثبت است.)

گام ۳: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است تابع نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: تابع فقط بین $-1$ و $1$ صعودی است. چون $f$ پیوسته است و مشتقش درون این بازه مثبت است، دو سر بازه را هم می‌توان گذاشت؛ پس بزرگ‌ترین بازه‌ای که $f$ در آن صعودی اکید است، $[-1, 1]$ است.