سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - 3g(x)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(x)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} g(x)\,\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$$ $$= \lim_{x \to 2} g(x) \, \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 5f'(2)$$

پس حاصل حد ۵ برابر $f'(2)$ است.

گام ۱: خواندن از شکل. نمودار $f$ از نقطهٔ $(2, 3)$ و نمودار $g$ از نقطهٔ $(2, 5)$ می‌گذرد:

$$f(2) = 3 , \qquad g(2) = 5$$

گام ۲: فاکتور گرفتن. از صورت کسر $g(x)$ را فاکتور می‌گیریم و به جای ۳ می‌نویسیم $f(2)$:

$$f(x)g(x) - 3g(x) = g(x)\big(f(x) - 3\big) = g(x)\big(f(x) - f(2)\big)$$

گام ۳: جدا کردن حدها. حد حاصل‌ضرب برابر حاصل‌ضرب حدهاست (وقتی هر دو حد وجود دارند):

$$\lim_{x \to 2} g(x)\,\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} g(x) \times \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$$

• نمودار $g$ در $x = 2$ پیوسته است، پس $\lim_{x \to 2} g(x) = g(2) = 5$.
• حد دوم طبق تعریف مشتق همان $f'(2)$ است (در شکل، $f$ در این نقطه خط مماس دارد).

نتیجه:

$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - 3g(x)}{x - 2} = 5f'(2)$$

یعنی حاصل حد ۵ برابر $f'(2)$ است.