سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

$$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 \Rightarrow O(-1, 2) ,\ r = 2$$ $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = m^2 \Rightarrow O'(2, -1) ,\ r' = m$$ $$OO' = 3\sqrt{2}$$ $$OO' = r + r' \Rightarrow m + 2 = 3\sqrt{2} \Rightarrow m = 3\sqrt{2} - 2$$

گام ۱: مرکز و شعاع دایرهٔ اول. با مربع کامل کردن:

$$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = -1 + 1 + 4 \Rightarrow (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$$

پس مرکز $O(-1, 2)$ و شعاع $r = 2$ است.

گام ۲: مرکز و شعاع دایرهٔ دوم. معادله از قبل به شکل استاندارد است: مرکز $O'(2, -1)$ و شعاع $r' = m$.

گام ۳: فاصلهٔ دو مرکز.

$$OO' = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

گام ۴: شرط مماس خارج. دو دایره وقتی مماس خارج‌اند که فاصلهٔ مرکزها برابر مجموع شعاع‌ها باشد:

$$OO' = r + r' \Rightarrow 2 + m = 3\sqrt{2} \Rightarrow m = 3\sqrt{2} - 2$$

این عدد مثبت است ($3\sqrt{2} \approx 4.24$)، پس $m \approx 2.24$ شعاعی قابل قبول است.