سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

الف)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x} - 1} \times \frac{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1} = 3$$

ب)

$$\lim_{x \to 0^-} \frac{x - 2}{|\sin x|} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$$

پ)

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 + 4x^5}{x^3 - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x^5}{x^3} = +\infty$$

الف) با جای‌گذاری $x = 1$، صورت و مخرج هر دو صفر می‌شوند و حالت مبهم $\frac{0}{0}$ داریم. مخرج را با اتحاد چاق و لاغر گویا می‌کنیم. با $a = \sqrt[3]{x}$ و $b = 1$:

$$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \Rightarrow (\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1) = x - 1$$

صورت و مخرج را در $\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1$ ضرب می‌کنیم:

$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1\right) = 1 + 1 + 1 = 3$$

ب) وقتی $x \to 0^-$، صورت به $0 - 2 = -2$ میل می‌کند. مخرج $|\sin x|$ به صفر میل می‌کند و چون قدرمطلق است (و نزدیک صفر، $\sin x \ne 0$)، همیشه مثبت است؛ یعنی مخرج به $0^+$ میل می‌کند:

$$\lim_{x \to 0^-} \frac{x - 2}{|\sin x|} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$$

پ) در حد یک تابع گویا وقتی $x \to \pm\infty$، فقط جملهٔ با بزرگ‌ترین توان در صورت و مخرج مهم است:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 + 4x^5}{x^3 - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x^5}{x^3} = \lim_{x \to -\infty} 4x^2 = +\infty$$

چون $x^2$ همیشه مثبت است، با بزرگ شدن اندازهٔ $x$ (حتی در جهت منفی) $4x^2$ به $+\infty$ می‌رود.