سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

الف) $FF' = 4$ ، $O(1, 3)$

ب) $y = 3$

پ)

$$OB' = \sqrt{OA^2 - OF^2} = \sqrt{5}$$ $$S = \frac{1}{2}\,OB' \times FF' = 2\sqrt{5}$$

الف) دو کانون طول یکسان ($x = 1$) دارند؛ پس قطر بزرگ روی خط قائم $x = 1$ است. فاصلهٔ کانونی، فاصلهٔ دو کانون است:

$$FF' = |5 - 1| = 4 \qquad (c = 2)$$

مرکز بیضی وسط پاره‌خط $FF'$ است:

$$O\left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = O(1, 3)$$

ب) قطر کوچک در مرکز بر قطر بزرگ عمود است. قطر بزرگ قائم است، پس قطر کوچک افقی است و از $O(1, 3)$ می‌گذرد:

$$y = 3$$

پ) نیم‌قطر بزرگ $a = OA = |6 - 3| = 3$ و $c = OF = 2$ است. در بیضی $a^2 = b^2 + c^2$؛ پس نیم‌قطر کوچک:

$$OB' = b = \sqrt{OA^2 - OF^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$$

(به زبان هندسه: $B'F = a = 3$ و مثلث $OB'F$ در $O$ قائمه است.)

قاعدهٔ مثلث $B'FF'$ را $FF' = 4$ می‌گیریم؛ چون $OB'$ بر قطر بزرگ عمود است، ارتفاع نظیر این قاعده همان $OB' = \sqrt{5}$ است:

$$S = \frac{1}{2} \times FF' \times OB' = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$