سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

با $r$ شعاع نیم‌دایره و $h$ ارتفاع مستطیل:

$$2h + 2r + \pi r = 6 \Rightarrow h = \frac{6 - 2r - \pi r}{2}$$ $$S(r) = 6r - 2r^2 - \frac{1}{2}\pi r^2 \Rightarrow S'(r) = 6 - 4r - \pi r$$ $$6 - 4r - \pi r = 0 \Rightarrow r = \frac{6}{4 + \pi}$$ $$h = \frac{6 - (2 + \pi)\frac{6}{4 + \pi}}{2} = \frac{6}{4 + \pi}$$

«بیشترین نوردهی» یعنی بیشترین مساحت پنجره؛ پس باید مساحت را بیشینه کنیم.

گام ۱: متغیرها و محیط. شعاع نیم‌دایره را $r$ و ارتفاع مستطیل را $h$ می‌گیریم؛ پهنای مستطیل همان قطر نیم‌دایره، یعنی $2r$ است. دور پنجره از ضلع پایین ($2r$)، دو ضلع کناری ($2h$) و کمان نیم‌دایره (نصف محیط دایره، $\pi r$) ساخته شده است؛ ضلع بالای مستطیل زیر نیم‌دایره است و جزو محیط نیست:

$$2r + 2h + \pi r = 6 \Rightarrow h = \frac{6 - 2r - \pi r}{2}$$

گام ۲: تابع مساحت. مساحت = مساحت مستطیل + مساحت نیم‌دایره:

$$S = 2r \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2 = r(6 - 2r - \pi r) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 6r - 2r^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$$

طول‌ها مثبت‌اند: $r > 0$ و $h > 0$، یعنی $0 < r < \frac{6}{2 + \pi}$.

گام ۳: نقطهٔ بحرانی.

$$S'(r) = 6 - 4r - \pi r = 6 - (4 + \pi)r = 0 \Rightarrow r = \frac{6}{4 + \pi}$$

این عدد در بازهٔ مجاز است، چون $4 + \pi > 2 + \pi$.

گام ۴: جدول تغییرات. $S'(r) = 6 - (4 + \pi)r$ با بزرگ شدن $r$ کم می‌شود: قبل از $\frac{6}{4 + \pi}$ مثبت و بعد از آن منفی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $r$ می‌خوانیم:

پس بیشترین مساحت در $r = \frac{6}{4 + \pi}$ به دست می‌آید.

گام ۵: ارتفاع مستطیل.

$$h = \frac{6 - (2 + \pi)\frac{6}{4 + \pi}}{2} = \frac{\frac{6(4 + \pi) - 6(2 + \pi)}{4 + \pi}}{2} = \frac{\frac{12}{4 + \pi}}{2} = \frac{6}{4 + \pi}$$

نتیجه: شعاع نیم‌دایره و ارتفاع مستطیل هر دو $\frac{6}{4 + \pi}$ متر (حدود $0.84$ متر) و پهنای پنجره $\frac{12}{4 + \pi}$ متر (حدود $1.68$ متر) است.