سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

الف) درست — ب) نادرست — پ) درست

الف) درست. تابع صعودی یعنی با بزرگ شدن $x$ مقدار تابع کم نشود و تابع نزولی یعنی مقدار تابع زیاد نشود:

هر تابع ثابت $f(x) = c$ هر دو شرط را دارد، چون همیشه $f(x_1) = f(x_2)$ است. عدد $c$ می‌تواند هر عدد حقیقی باشد ($y = 1$، $y = -3$، $y = \sqrt{2}$ و …)؛ پس بی‌شمار چنین تابعی وجود دارد.

ب) نادرست. در $x = 1$ مقدار داخل قدرمطلق $2 - 1^2 = 1$ مثبت است؛ پس در نزدیکی $x = 1$ داریم $f(x) = 2 - x^2$. این یک چندجمله‌ای است و در $x = 1$ مشتق‌پذیر است:

وقتی مشتق وجود دارد، نمودار در آن نقطه شکستگی ندارد و نقطهٔ گوشه‌ای نیست. نقطه‌های گوشه‌ای این تابع جایی است که داخل قدرمطلق صفر می‌شود و علامتش عوض می‌شود، یعنی $x = \pm\sqrt{2}$.

پ) درست. طبق کتاب درسی، اگر تابع $f$ در $x = c$ اکسترمم نسبی داشته باشد، یا $f'(c) = 0$ است یا $f'(c)$ وجود ندارد. نقطهٔ بحرانی هم دقیقاً نقطه‌ای از دامنه است که مشتق در آن صفر است یا وجود ندارد. پس هر نقطهٔ اکسترمم نسبی، بحرانی است. (عکس این جمله درست نیست؛ مثلاً $x = 0$ برای $y = x^3$ بحرانی است ولی اکسترمم نیست.)