سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

$$\frac{2\pi}{|b|} = 4\pi \Rightarrow b = \pm\frac{1}{2}$$ $$|a| = \frac{3 - (-1)}{2} = 2 \Rightarrow a = \pm 2$$

با توجه به نمودار تابع، $ab$ باید عددی منفی شود؛ بنابراین $ab = -1$.

گام ۱: دورهٔ تناوب. نمودار در $x = 0$ از ارتفاع ۱ شروع می‌کند و پایین می‌رود، یک کمینه و یک بیشینه را طی می‌کند و در $x = 4\pi$ دوباره به ارتفاع ۱ می‌رسد و باز رو به پایین است؛ یعنی از $0$ تا $4\pi$ دقیقاً یک دورهٔ کامل است. دورهٔ تناوب $y = a\sin bx + 1$ برابر $\frac{2\pi}{|b|}$ است:

$$\frac{2\pi}{|b|} = 4\pi \Rightarrow |b| = \frac{1}{2}$$

گام ۲: دامنهٔ نوسان. بیشترین مقدار تابع ۳ و کمترین مقدار آن $-1$ است. فاصلهٔ بیشینه تا کمینه برابر $2|a|$ است:

$$2|a| = 3 - (-1) = 4 \Rightarrow |a| = 2$$

(وسط این دو مقدار، $\frac{3 + (-1)}{2} = 1$، همان عدد $+1$ در ضابطه است.)

گام ۳: علامت $ab$. در $x = 0$ مقدار تابع ۱ است و برای $x$های مثبتِ کوچک نمودار پایین‌تر از ۱ می‌رود؛ پس $a\sin bx$ برای $x$های مثبتِ کوچک منفی است. علامت $\sin bx$ برای $x$ مثبتِ کوچک همان علامت $b$ است؛ پس $a$ و $b$ هم‌علامت نیستند و $ab < 0$:

$$ab = -|a|\,|b| = -2 \times \frac{1}{2} = -1$$

برای نمونه، $a = -2$ و $b = \frac{1}{2}$ یعنی $y = -2\sin\frac{x}{2} + 1$؛ این تابع در $x = \pi$ مقدار $-1$ و در $x = 3\pi$ مقدار ۳ دارد، درست مثل نمودار.