سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

$$f'(x) = 4x + 5 \Rightarrow f'(2) = 13$$ $$\frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{1 - (-1)}{2} = 1$$

پس آهنگ تغییر لحظه‌ای تابع در نقطهٔ $x = 2$، ۱۳ برابر آهنگ تغییر متوسط آن در بازهٔ $[-2, 0]$ است.

گام ۱: آهنگ تغییر لحظه‌ای در یک نقطه همان مشتق تابع در آن نقطه است:

$$f'(x) = 4x + 5 \Rightarrow f'(2) = 4(2) + 5 = 13$$

گام ۲: آهنگ تغییر متوسط در بازهٔ $[a, b]$ برابر $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ است. مقدار تابع در دو سر بازه:

$$f(0) = 1 , \qquad f(-2) = 2(4) + 5(-2) + 1 = 8 - 10 + 1 = -1$$ $$\frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

گام ۳: مقایسه.

$$\frac{13}{1} = 13$$

پس آهنگ تغییر لحظه‌ای در $x = 2$، ۱۳ برابر آهنگ تغییر متوسط در بازهٔ $[-2, 0]$ است.