سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

معادله را به شکل $\cos 2x = \cos x$ می‌نویسیم. می‌دانیم:

$$\cos\alpha = \cos\beta \Rightarrow \alpha = 2k\pi \pm \beta \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

حالت اول (علامت +):

$$2x = 2k\pi + x \Rightarrow x = 2k\pi$$

هیچ‌کدام از این جواب‌ها در بازهٔ باز $(0, \pi)$ نیست (و همه جزو جواب‌های حالت دوم هم هستند).

حالت دوم (علامت −):

$$2x = 2k\pi - x \Rightarrow 3x = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{2k\pi}{3}$$

به ازای $k = 0$ جواب $0$ است که در بازهٔ باز نیست؛ به ازای $k = 1$ جواب $\frac{2\pi}{3}$ است که در بازه است؛ و به ازای $k = 2$ جواب $\frac{4\pi}{3}$ از $\pi$ بزرگ‌تر است. پس تنها جواب $x = \frac{2\pi}{3}$ است.

راه دیگر: با $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \Rightarrow (2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$$

$\cos x = 1$ فقط در $x = 0$ (بیرون بازه) و $\cos x = -\frac{1}{2}$ در بازهٔ $(0, \pi)$ فقط در $x = \frac{2\pi}{3}$ برقرار است.