سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۲

الف)

$$D_{fog} = \{x \in \mathbb{R} \mid x - 1 \ge -1\} = [0, +\infty)$$

ب)

$$f\big(g(x)\big) = \sqrt{x - 1 + 1} = \sqrt{x}$$

الف) طبق تعریف، دامنهٔ $fog$ همهٔ $x$هایی از دامنهٔ $g$ است که $g(x)$ در دامنهٔ $f$ باشد:

$$D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$$

$g(x) = x - 1$ یک چندجمله‌ای است، پس $D_g = \mathbb{R}$.

زیر رادیکال $f$ نباید منفی باشد: $x + 1 \ge 0$، پس $D_f = [-1, +\infty)$.

شرط $g(x) \in D_f$ یعنی:

$$x - 1 \ge -1 \Rightarrow x \ge 0$$

پس $D_{fog} = [0, +\infty)$.

ب) به جای $x$ در ضابطهٔ $f$، عبارت $g(x)$ را می‌گذاریم:

$$(fog)(x) = f\big(g(x)\big) = \sqrt{(x - 1) + 1} = \sqrt{x} , \qquad x \ge 0$$