سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

الف) $f'(x) = 5(x^2 + 2x - 1)^4(2x + 2)$

ب)

$$g'(x) = \left(\frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}\right)(x^3 + 1) + (\sqrt{3x + 2})(3x^2)$$

الف) تابع به شکل $u^5$ است که $u = x^2 + 2x - 1$. طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای (مشتق توان):

$$(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$$ $$u' = 2x + 2 \Rightarrow f'(x) = 5(x^2 + 2x - 1)^4(2x + 2)$$

ب) تابع حاصل‌ضرب دو عامل است؛ از قاعدهٔ مشتق ضرب استفاده می‌کنیم:

$$(uv)' = u'v + uv'$$

با $u = \sqrt{3x + 2}$ و $v = x^3 + 1$. مشتق رادیکال از فرمول $(\sqrt{w})' = \frac{w'}{2\sqrt{w}}$ به دست می‌آید:

$$u' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} \qquad v' = 3x^2$$

در فرمول ضرب جای‌گذاری می‌کنیم:

$$g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}(x^3 + 1) + \sqrt{3x + 2}\,(3x^2)$$

چون ساده کردن لازم نیست، پاسخ همین است.