سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

$$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1 \ \ \text{یا} \ \ \sin x = \frac{1}{2}$$ $$\sin x = -1 \Rightarrow x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}$$ $$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \ \ \text{یا} \ \ x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6}$$

($k$ عدد صحیح است.)

گام ۱: همه چیز را برحسب $\sin x$ بنویسیم. از اتحاد $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ استفاده می‌کنیم:

$$(1 - 2\sin^2 x) - \sin x + 1 = 1$$

یک را از دو طرف کم می‌کنیم و همه را به یک طرف می‌بریم:

$$-2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$

گام ۲: حل معادلهٔ درجهٔ دوم. با $t = \sin x$ داریم $2t^2 + t - 1 = 0$ که تجزیه می‌شود:

$$(2t - 1)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \ \ \text{یا} \ \ t = -1$$

هر دو جواب بین $-1$ و $1$ هستند، پس هر دو قابل قبول‌اند.

گام ۳: جواب‌های کلی.

حالت ۱: $\sin x = -1$ فقط در یک نقطه از دایرهٔ مثلثاتی (پایین‌ترین نقطه) رخ می‌دهد:

$$x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}$$

حالت ۲: $\sin x = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$؛ جواب کلی $\sin x = \sin\alpha$ به صورت $x = 2k\pi + \alpha$ یا $x = 2k\pi + \pi - \alpha$ است:

$$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \ \ \text{یا} \ \ x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6} = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$$

در همهٔ این جواب‌ها $k$ یک عدد صحیح دلخواه است.