سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

الف)

$$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x(2x - 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x}{2x + 1} = \frac{1}{4}$$

ب)

$$\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{\sin^2 x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$

الف) با جای‌گذاری $x = \frac{1}{2}$، صورت $2 \times \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = 0$ و مخرج $4 \times \frac{1}{4} - 1 = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ داریم. پس صورت و مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$$2x^2 - x = x(2x - 1) \qquad 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$$

عامل مشترک $2x - 1$ را (که نزدیک $\frac{1}{2}$ صفر نیست) ساده می‌کنیم و بعد جای‌گذاری می‌کنیم:

$$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x(2x - 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x}{2x + 1} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

ب) با جای‌گذاری $x = 0$، صورت $0 + 1 = 1$ و مخرج $\sin^2 0 = 0$ می‌شود؛ عدد ناصفر تقسیم بر صفر، پس حد بی‌نهایت است و باید علامت مخرج را ببینیم. $\sin^2 x$ مربع است و نزدیک صفر (برای $x \ne 0$) همیشه مثبت است؛ یعنی مخرج از سمت مقدارهای مثبت به صفر نزدیک می‌شود ($0^+$). صورت هم نزدیک ۱ و مثبت است:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{\sin^2 x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$

چون از هر دو طرف صفر همین نتیجه به دست می‌آید، حد برابر $+\infty$ است.