سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

تابع در $x = -1$ پیوسته است.

$$f'_+(-1) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 + 3 - 4}{x - (-1)} = -2$$ $$f'_-(-1) = \lim_{x \to -1^-} \frac{2x + 6 - 4}{x - (-1)} = 2$$ $$f'_+(-1) \ne f'_-(-1)$$

پس $f'(-1)$ موجود نیست؛ تابع در $x = -1$ مشتق‌پذیر نیست.

تابعی در یک نقطه مشتق‌پذیر است که در آن نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راستش برابر باشند.

گام ۱: پیوستگی. مقدار تابع با ضابطهٔ بالایی ($x \ge -1$) حساب می‌شود:

$$f(-1) = (-1)^2 + 3 = 4$$ $$\lim_{x \to -1^+} (x^2 + 3) = 4 \qquad \lim_{x \to -1^-} (2x + 6) = -2 + 6 = 4$$

حد چپ، حد راست و مقدار تابع برابرند؛ پس تابع در $x = -1$ پیوسته است.

گام ۲: مشتق راست (با ضابطهٔ $x^2 + 3$):

$$f'_+(-1) = \lim_{x \to -1^+} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 + 3 - 4}{x + 1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1^+} (x - 1) = -2$$

گام ۳: مشتق چپ (با ضابطهٔ $2x + 6$):

$$f'_-(-1) = \lim_{x \to -1^-} \frac{2x + 6 - 4}{x + 1} = \lim_{x \to -1^-} \frac{2(x + 1)}{x + 1} = 2$$

نتیجه: مشتق راست $-2$ و مشتق چپ $2$ است. چون برابر نیستند، $f'(-1)$ وجود ندارد و تابع در $x = -1$ مشتق‌پذیر نیست (نمودار در این نقطه گوشه دارد).