سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

$$|a| = \frac{2 - (-2)}{2} = 2 \Rightarrow a = -2$$ $$|b| = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \Rightarrow b = 1$$ $$c = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$$ $$f(x) = -2\cos x$$

از روی نمودار: بیشترین مقدار تابع $2$ و کمترین مقدار آن $-2$ است.

گام ۱: پیدا کردن $|a|$ و $c$. نمودار $a\cos bx + c$ بین $c - |a|$ و $c + |a|$ نوسان می‌کند؛ پس:

$$|a| = \frac{\max - \min}{2} = \frac{2 - (-2)}{2} = 2$$ $$c = \frac{\max + \min}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$$

گام ۲: دورهٔ تناوب و $b$. نمودار در $x = 0$ کمینه است و کمینهٔ بعدی در $x = 2\pi$ است؛ پس دورهٔ تناوب $T = 2\pi$ است:

$$T = \frac{2\pi}{|b|} = 2\pi \Rightarrow |b| = 1$$

چون $\cos(-x) = \cos x$، علامت $b$ اهمیتی ندارد و $b = 1$ را می‌گیریم.

گام ۳: علامت $a$. در $x = 0$ داریم $\cos 0 = 1$، پس $f(0) = a + c = a$. نمودار در $x = 0$ کمینه است و مقدارش $-2$ است؛ پس $a = -2$.

$$f(x) = -2\cos x$$

بررسی: $f(\pi) = -2\cos\pi = -2 \times (-1) = 2$ که همان بیشینهٔ نمودار در $x = \pi$ است.