دی ۱۴۰۰

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۵ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

۰.۷۵ بارم

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید.

الف) تابع y=2x3−34xy = \sqrt{2}x^3 - \frac{3}{4}x یک چندجمله‌ای از درجهٔ ۳ است.

ب) اگر f(7)=5f(7) = 5 و g(4)=7g(4) = 7، آنگاه (f∘g)(4)=5(f \circ g)(4) = 5.

ج) دو تابع f(x)=−72x−3f(x) = -\frac{7}{2}x - 3 و g(x)=−2x+76g(x) = -\frac{2x + 7}{6} وارون یکدیگرند.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) درست — ب) درست — ج) نادرست

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) درست. چندجمله‌ای مجموع جمله‌هایی به شکل axnax^n است که در آن‌ها توان nn عدد صحیح نامنفی است. ضریب‌ها می‌توانند هر عدد حقیقی باشند، حتی عدد گنگی مثل 2\sqrt{2}. در این تابع توان‌های xx برابر ۳ و ۱ هستند و بزرگ‌ترین توان ۳ است؛ پس تابع یک چندجمله‌ای درجهٔ ۳ است.

ب) درست. در ترکیب f∘gf \circ g اول gg و بعد ff اثر می‌کند:

(f∘g)(4)=f(g(4))=f(7)=5(f \circ g)(4) = f\big(g(4)\big) = f(7) = 5

ج) نادرست. وارون ff را پیدا می‌کنیم. در y=−72x−3y = -\frac{7}{2}x - 3، xx را برحسب yy می‌نویسیم:

y=−72x−3⇒72x=−y−3⇒x=−2(y+3)7=−2y+67y = -\frac{7}{2}x - 3 \Rightarrow \frac{7}{2}x = -y - 3 \Rightarrow x = -\frac{2(y + 3)}{7} = -\frac{2y + 6}{7}

پس وارون ff این است:

f−1(x)=−2x+67f^{-1}(x) = -\frac{2x + 6}{7}

که با g(x)=−2x+76g(x) = -\frac{2x + 7}{6} برابر نیست. برای اطمینان یک نقطه را امتحان می‌کنیم: اگر وارون هم بودند، باید f(g(0))=0f\big(g(0)\big) = 0 می‌شد، اما

g(0)=−76⇒f(−76)=−72×(−76)−3=4912−3612=1312≠0g(0) = -\frac{7}{6} \Rightarrow f\left(-\frac{7}{6}\right) = -\frac{7}{2} \times \left(-\frac{7}{6}\right) - 3 = \frac{49}{12} - \frac{36}{12} = \frac{13}{12} \ne 0

پس این دو تابع وارون یکدیگر نیستند.

این پاسخ مفید بود؟