سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

$$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + P(B_3)P(A|B_3) + P(B_4)P(A|B_4)$$ $$P(A) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{14} + \frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{6}{8} + \frac{1}{4} \times 0 = \frac{57}{112}$$

پیشامد $A$ را «قرمز بودن مهره» و $B_i$ را «انتخاب ظرف $i$ام» می‌گیریم. مهره حتماً از یکی از چهار ظرف بیرون می‌آید؛ پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم.

گام ۱: احتمال انتخاب هر ظرف. ظرف‌ها یکسان‌اند و با چشم بسته انتخاب می‌شوند:

$$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = P(B_4) = \frac{1}{4}$$

گام ۲: احتمال قرمز بودن در هر ظرف.

$$P(A|B_1) = \frac{4}{14} \qquad P(A|B_2) = 1 \qquad P(A|B_3) = \frac{6}{8} \qquad P(A|B_4) = 0$$

(در ظرف دوم همهٔ مهره‌ها قرمزند، پس احتمال ۱ است؛ در ظرف چهارم مهرهٔ قرمز نیست، پس احتمال صفر است.)

گام ۳: قانون احتمال کل.

$$P(A) = \frac{1}{4}\left(\frac{4}{14} + 1 + \frac{6}{8} + 0\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{2}{7} + 1 + \frac{3}{4}\right)$$

مخرج مشترک ۲۸ است:

$$\frac{2}{7} + 1 + \frac{3}{4} = \frac{8}{28} + \frac{28}{28} + \frac{21}{28} = \frac{57}{28}$$ $$P(A) = \frac{1}{4} \times \frac{57}{28} = \frac{57}{112}$$