سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 1 \ \ \text{یا} \ \ x = -2 \notin [-1, 3]$$ $$f(-1) = 13 \qquad f(1) = -7 \qquad f(3) = 45$$

مینیمم مطلق $-7$ در نقطهٔ $(1, -7)$ و ماکزیمم مطلق $45$ در نقطهٔ $(3, 45)$ است.

تابع چندجمله‌ای است و روی بازهٔ بسته پیوسته است؛ پس اکسترمم‌های مطلق حتماً وجود دارند و در نقطه‌های بحرانی درون بازه یا در دو سر بازه رخ می‌دهند.

گام ۱: نقطه‌های بحرانی.

$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x + 2)(x - 1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1 \ \ \text{یا} \ \ x = -2$$

$x = -2$ درون بازهٔ $[-1, 3]$ نیست و کنار گذاشته می‌شود.

گام ۲: مقدار تابع در نقطهٔ بحرانی و دو سر بازه.

$$f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 + 3 + 12 = 13$$ $$f(1) = 2 + 3 - 12 = -7$$ $$f(3) = 2(27) + 3(9) - 12(3) = 54 + 27 - 36 = 45$$

گام ۳: مقایسه. کوچک‌ترین مقدار $-7$ و بزرگ‌ترین مقدار $45$ است:

• مینیمم مطلق: $-7$ در $x = 1$، یعنی نقطهٔ $(1, -7)$
• ماکزیمم مطلق: $45$ در $x = 3$، یعنی نقطهٔ $(3, 45)$