دی ۱۴۰۰

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۵ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

۰.۵ بارم

در جاهای خالی عبارت ریاضی مناسب را انتخاب کنید.

الف) نمودار تابع f(x)=x3f(x) = x^3 در بازهٔ (0,1)(0, 1)، ........ از نمودار تابع g(x)=x2g(x) = x^2 قرار دارد. (بالاتر – پایین‌تر)

ب) چندجمله‌ای p(x)=2x3+x2+1p(x) = 2x^3 + x^2 + 1 بر دوجمله‌ای ........ بخش‌پذیر است. (x−1x - 1 – x+1x + 1)

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) پایین‌تر — ب) x+1x + 1

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) اگر 0<x<10 < x < 1 باشد، ضرب کردن یک عدد مثبت در xx آن را کوچک‌تر می‌کند. پس:

0<x<1⇒x3=x2⋅x<x20 < x < 1 \Rightarrow x^3 = x^2 \cdot x < x^2

مثلاً برای x=12x = \frac{1}{2} داریم x3=18x^3 = \frac{1}{8} و x2=14x^2 = \frac{1}{4}. یعنی در این بازه عرض نقطه‌های نمودار x3x^3 کمتر است و نمودار ff پایین‌تر از نمودار gg قرار دارد.

ب) طبق قضیهٔ عامل، چندجمله‌ای p(x)p(x) بر x−ax - a بخش‌پذیر است اگر و فقط اگر p(a)=0p(a) = 0 باشد. هر دو گزینه را امتحان می‌کنیم:

p(−1)=2(−1)3+(−1)2+1=−2+1+1=0p(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0 p(1)=2(1)3+(1)2+1=4≠0p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 + 1 = 4 \ne 0

پس p(x)p(x) بر x+1x + 1 بخش‌پذیر است (و بر x−1x - 1 نه).

این پاسخ مفید بود؟