سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

الف)

$$(g \circ f)(-1) = g(1) = -5$$ $$(g^{-1} \circ f^{-1})(2) = g^{-1}(0) = -4$$

ب) نمودار $f$ دو واحد به راست و سه واحد به پایین منتقل می‌شود (منحنی آبی):

الف ۱) در ترکیب $g \circ f$ اول $f$ و بعد $g$ اثر می‌کند: $(g \circ f)(-1) = g\big(f(-1)\big)$.

• روی نمودار $f$، نقطهٔ $(-1, 1)$ را داریم؛ پس $f(-1) = 1$.
• روی نمودار $g$، نقطهٔ $(1, -5)$ را داریم؛ پس $g(1) = -5$.

$$(g \circ f)(-1) = g\big(f(-1)\big) = g(1) = -5$$

الف ۲) اینجا اول $f^{-1}$ و بعد $g^{-1}$ اثر می‌کند: $(g^{-1} \circ f^{-1})(2) = g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)$.

• $f^{-1}(2)$ یعنی طولِ نقطه‌ای از نمودار $f$ که عرضش ۲ است. نقطهٔ $(0, 2)$ روی شاخهٔ راست $f$ است؛ پس $f^{-1}(2) = 0$.
• $g^{-1}(0)$ یعنی طولِ نقطه‌ای از نمودار $g$ که عرضش صفر است؛ نمودار $g$ محور $x$ را در $(-4, 0)$ قطع می‌کند، پس $g^{-1}(0) = -4$.

$$(g^{-1} \circ f^{-1})(2) = g^{-1}(0) = -4$$

ب) از روی شکل، $f(x) = |x + 2|$ است (رأس در $(-2, 0)$ و شیب شاخه‌ها $\pm 1$). دو تغییر روی نمودار انجام می‌دهیم:

گام ۱: $f(x - 2)$ یعنی نمودار $f$ دو واحد به راست می‌رود؛ رأس از $(-2, 0)$ به $(0, 0)$ می‌رسد.

گام ۲: $-3$ در بیرون یعنی نمودار سه واحد به پایین می‌رود؛ رأس از $(0, 0)$ به $(0, -3)$ می‌رسد.

$$y = f(x - 2) - 3 = |(x - 2) + 2| - 3 = |x| - 3$$

شیب شاخه‌ها عوض نمی‌شود. پس نمودار یک V با رأس $(0, -3)$ است که محور $x$ را در $x = -3$ و $x = 3$ قطع می‌کند (شکل پاسخ).