سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

وقتی دایره بر خطی مماس است، شعاع دایره برابر فاصلهٔ مرکز از آن خط است.

گام ۱: فاصلهٔ مرکز از خط. خط را به شکل $3x - 4y - 3 = 0$ می‌نویسیم. فاصلهٔ نقطهٔ $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

با مرکز $(0, 3)$:

$$r = \frac{|3 \times 0 - 4 \times 3 - 3|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$

گام ۲: معادلهٔ دایره. دایره‌ای به مرکز $(\alpha, \beta)$ و شعاع $r$ معادلهٔ $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ دارد:

$$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 9 \quad \text{یعنی} \quad x^2 + (y - 3)^2 = 9$$